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2-数组表示和运算

码制​

十进制转换任意进制​

除基取余法（针对整数）​

拿十进制的数除以基数（什么进制就是什么基数），留下余数和商，继续执行除基取余，知道商为0，最后将余数从下向上串起来，得到整数部分。

乘基取整法（针对小数）​

拿小数不断乘以基数，取掉最高位（小数点前一位），知道乘积的结果为1.000....，将结果从下向上串起来即可。 IMG_20231018_151106.jpg

原码​

机器数的最高位表示数据的符号，剩下的数据位表示数据的绝对值真值。假设字长为n+1位。 则小数表示范围：−(1−2−n)≤x≤1−2−n-(1-2 ^{-n})\le x \le 1-2^{-n}， 整数表示范围：−(2n−1)≤x≤2n−1-(2^{n}-1) \le x \le 2^n -1。 其中原码的0有两种表示：10000和00000。

补码​

基于原码的不方便运算二设计的，模二运算。正数的补码和原码一样，负数的补码是在原码的基础上，除符号位外取反，末位加1（从右到左找到第一个1，前面的数取反即可）。如果是从x的补码求-x的补码，也是上述的步骤，同时将符号位进行变换即可。 对于字长n+1位。 小数表示范围：−1≤x≤1−2−n-1 \le x \le 1-2^{-n} 整数表示范围：−2n≤x≤2n−1-2^n \le x \le 2^n -1 零的表示唯一，都是0.000

反码​

正数的反码同原码，负数的反码等于原码的数值为全部取反。其中反码的零也有正负之分。

移码​

移码常常用来表示浮点数的阶码，理解为在真值上加上一个常数（偏置值），通常是2n2^n，相当于x在数轴上正向偏移若干单位，移码等于补码的符号位取反。 移码的零表示唯一。

移位​

算术移位​

码制添加
正数原、补、反0
负数原0
补左1
右0
反1

逻辑移位​

无脑0

循环移位​

IMG_20231018_154216.jpg

定点数加减​

运算步骤​

原码加减计算在计算机中容易失误得不到正确的结果，于是计算机内部的加减运算都是采用补码进行运算的，减法的本质是加法，等于加上一个负数的补码。步骤：

  1. 按二进制规则，逢二进一
  2. 加法：直接相加；减法：减数转换成负数补码后和被减数相加
  3. 符号位和数值位一起参与运算，加减法的符号位在运算中直接得到
  4. 最终运算结果的高位丢弃，保留n+1位，运算结果还是补码

四个标志​

  • 零标志ZF，ZF为1代表全0
  • 溢出标志OF，为1表示溢出，对于无符号数这个标志没用
  • 符号标志SF，表示结果的符号
  • 进/借位标志CF，对无符号有用，有符号数的运算没用

溢出判别​

1）一位符号位 参加运算的两个数符号相同，结果与原操作数不同的话，表示溢出。 V=AsBsSsˉ+AsˉBsˉSsV = A_sB_s \bar{S_s}+\bar{A_{s}}\bar{B_{s}}S_s 逻辑表达式为1时候为溢出

2）双符号位 模四补码，运算结果两个符号位一样则不溢出，否则是溢出。

  • 00
  • 11
  • 01上溢出
  • 10下溢出

3）一位符号位 采用一位符号位结合仅为情况判断溢出，若符号位进位CF和最高位数位的进位C1一样表示没有溢出，反之溢出。

定点数乘除​

原码乘法​

  1. 符号位单独运算，被乘数和乘数按绝对值进行运算
  2. 初始ACC里面设置为00.0000（00符号位隐藏）
  3. 乘数最低位为1，则加上被乘数，为0则加0
  4. 执行完3后，整体带上ACC的符号位进行右移（逻辑）
  5. 重复执行加法和右移n次即可

手算模拟：image.png

补码乘法（booth算法）​

在乘数后面初始加一个辅助位0，根据辅助位和乘数的最后一位的加减结果判断下一步加什么。

  1. x和y计算出对应的x和y的补码以及-x的补码
  2. 初始ACC设置00.0000，MQ中为乘数，乘数后添加一个辅助位（辅助位就是MQ后一位）
  3. 辅助位-MQ最低位：为1则加x的补码，为0则加0，为-1则加-x的补码
  4. 执行3后，整体右移（逻辑）一位
  5. 整体执行3和4共n次，最后再执行一次3，但是不右移（也就是n+1次累加和n次的右移）

image.png 比较： image.png

原码除法（恢复余数）​

  1. 符号位单独运算
  2. 计算x、y的绝对值，y的补码和-y的补码
  3. **第一步是用被除数-除数的补码 **
  4. 判断余数，余数为负商0，并且加上除数的补码，余数为正商0，不恢复
  5. 执行完4后，余数进行逻辑左移
  6. 加减n+1次，左移n次

流程图： image.png

原码除法（加减交替发，不恢复余数法）​

由余数和除数的符号共同决定，不需要恢复余数。

  1. 符号位单独运算
  2. 计算x、y的绝对值，y的补码和-y的补码
  3. 被除数减去除数，判断余数正负
  4. 余数为负，商0，余数左移并且加上除数；余数为正，商1，余数左移并且减去除数
  5. 加减n+1次，左移n

image.png

补码除法（加减交替法）​

  1. 符号位参与运算
  2. 计算x、y的绝对值，y的补码和-y的补码
  3. 第一步：被除数和除数同号，则被除数减去除数，被除数和除数异号，则加上除数
  4. 判断除数和余数是否同号，同号商1，余数左移减去除数；异号商0，余数左移加上除数
  5. 执行4操作n次，最后一步恒置1，“末位恒置1”

浮点数​

浮点数的表示格式​

表示为：N=(−1)S∗M∗REN =(-1)^S * M*R^E S的取值决定正负；M表示尾数，R是基数（2,4,8...），E是阶码，表示2E2^E

规格化​

  • 正数：0.1xxxxx
  • 负数：1.1xxxxx
  • 对于基数为2的，要求小数点后一位不全为0，也就是要为1
  • 对于基数为4的，要求小数点后两位不全为0

策略：

  • 左规：尾数左移，则阶码要-1
  • 右规：尾数右移，阶码+1

IEEE754标准​

小概念​

符号位：1；阶码：8；尾数：23 其中尾数前面隐含了一个1.，所以尾数的精度是24，能表示24位有效数字

符号S（31）阶码E（23~30）尾数M（0~22）

1+8+23组合。IEEE754标准表示成浮点数真值为：(−1)S∗1.M∗2E−127(-1)^S *1.M*2^{E-127} 其中注意阶码E是移码表示的。 阶码的全0和全1：

阶码符号尾数值
全0000
全010-0
全100正无穷
全110负无穷

浮点数的加减运算​

给定两个数，先转化成二进制表示形式。

  1. 对阶，两阶码相减，小的向大的对齐，阶码对齐过程中尾数也会进行移动
  2. 尾数加减（符号参与运算，一般都是两位符号）
  3. 将尾数规格化：正数0.1xxx，负数1.1xxx，规格化过程左移或者右移要进行阶码的改动
  4. 舍入：0舍1入、末位恒置1、截断
  5. 溢出判断

溢出的两种情况：

  1. 右规和尾数舍入，尾数大的舍入时候，末位加1，可能导致尾数溢出，此时会进行右规调整，但同时会影响到阶码，导致阶码溢出。
  2. 左规，进行左规时，阶码减1，可能导致下溢

结合一个例题： image.png

image.png